ご家族の大切な本をリサイクルに出してしまい、何度謝っても許してもらえないのですね。
まず1つの方法として、たけさんがおっしゃるように、自分で買い直すということです。
1番いいのはリサイクルに出した店にまだ残っていないか確認してみるといいかもしれません。
そして、同じ本を買い戻すことが出来ればベストですね。
もしなかった場合は、同じ本を買い直すということです。
きっとその本自体に思い入れがあるので、代わりではダメなのかもしれません。
しかし、それでもエールさんのお気持ちは伝わると思います。
手持ちのお金の関係ですぐにそれが難しかったら、お金を貯めて買い直すということを伝えるといいと思います。
実際に買い直さなくても、謝罪の言葉だけではなく、いかに反省と誠意を態度で示していくか、ということが大切なのだと思います。