詳しくは分かりませんが、精神科の薬の作用を血液検査で測ることは難しいように感じます。
長く服薬されている場合は、肝機能や腎機能を測るために検査をしたり、薬によっては血中濃度を測るために検査が必要なことがあります。
血液検査は医師が勧めているのでしょうか?
もし医師が必要と判断しているならば、何故必要なのか、検査を行わないことにより起こりるリスクについて医師から直接説明してもらった方がよいと思います。
それでも嫌だという場合は、それも医師に相談された方がよいかと思います。
そして、無理にさせようと説得するのではなく、注射がどうしても嫌な気持ちも分かるけど、あなたが注射以上に苦しい思いをして欲しくないというように、お母様のお気持ちを伝えてみて下さい。
そうじゃない場合は無理にさせなくてもよいのではないでしょうか。