そうですね。
関係を良くするとは言っても、いつも通り先生と仲良くすること、英語の勉強を得意だけどさらに伸ばしてみる……など。
これらのことを積み重ねるだけでもお互いの距離は少しずつ縮まると思います。が、それに加えて何かしてみるのも良いかもしれませんね。
例えば、お正月には年賀状を送ってみたり、たまに体調を気遣ったり、寄り添ったり。小さいことかもしれませんが、その行動一つ一つが先生の心にしっかり残るはずです。
ただ、不自然にもっと仲良くしようと動いてしまうと先生も戸惑ってしまうかもしれないので、まずはいつも通りの関係を保ちつつ積み重ねることを重視して、そこに先ほど挙げた例を加えられたらかなり良いと思います。
既にお二人は良い関係をお持ちなので、あまり心配することはないかと。